Дзмітрый Іванавіч Будзько нарадзіўся 3 кастрычніка 1930 г. у вёсцы Бардзёўка Брэсцкага павета Палескага ваяводства (цяпер Раснянскі сельсавет Камянецкага раёна Брэсцкай вобласці) у сялянскай сям’і. Сям’я Будзько была веруючай, патрыярхальнай. Галавой сям’і быў дзядуля Іосіф Сямёнавіч, які меў трох сыноў Івана, Іосіфа і Аляксея. Бацька, Іван Іосіфавіч Будзько (1905–1997), быў жанаты на Еўдакіі Іванаўне Бай. Бацькі з ранняга ўзросту прывучалі дзяцей да паслухмянасці і паважлівага стаўлення да дарослых.